お誕生月クーポンは、誕生月になるとクーポン画面上に自動表示はされますが、配信は行われません。
毎月1日にその月のお誕生月であるユーザーへ配信が行われるのは、プッシュ通知の定期自動配信を指します。
プッシュメッセージの「誕生日お知らせ配信設定」を利用するに設定し、ユーザー側の通知受け取り設定がONになっている場合は配信できます。